Προβολή πηγαίου κώδικα για τη σελίδα Μεσοκάθετη ευθύγραμμου τμήματος

Δεν έχετε την άδεια να τροποποιήσετε αυτή τη σελίδα, για τον ακόλουθο λόγο:

Η διεύθυνση IP σας βρίσκεται σε ένα εύρος που έχει αποκλειστεί σε όλα τα wiki του Ιδρύματος Wikimedia.

Ο αποκλεισμός έγινε από ‪Jon Kolbert‬ . Ο λόγος που δίνεται είναι Open proxy/Webhost: See the help page if you are affected .

Έναρξη αποκλεισμού: 01:29, 13 Μαΐου 2024
Λήξη αποκλεισμού: 01:29, 13 Μαΐου 2029

Η τρέχουσα διεύθυνση IP σας είναι 3.143.147.167 . Το αποκλεισμένο εύρος είναι 3.143.0.0/16 .

Παρακαλούμε συμπεριλάβετε τις παραπάνω λεπτομέρειες σε όποια ερωτήματα κάνετε. Εάν πιστεύετε ότι έχετε αποκλειστεί κατά λάθος, μπορείτε να βρείτε πρόσθετες πληροφορίες και οδηγίες στην παγκόσμια πολιτική No open proxies παγκόσμια πολιτική.

Διαφορετικά, για να συζητήσετε τον αποκλεισμό, παρακαλούμε αναρτήστε ένα αίτημα για έλεγχο στο Meta-Wiki. ⧼wikimedia-globalblocking-blockedtext-mistake- email-steward⧽

Μπορείτε να δείτε και να αντιγράψετε τον κώδικα της σελίδας:

[[Αρχείο:Perpendicular_bisector_el.svg|right|thumb|170px|Η μεσοκάθετος <math>\varepsilon</math> του ευθυγράμμου τμήματος <math>\rm AB</math>.]]
Στην [[ευκλείδεια γεωμετρία]], η '''μεσοκάθετη ευθεία''' ή απλά '''μεσοκάθετη''' (ή αλλιώς '''μεσοκάθετος''') ενός [[ευθύγραμμο τμήμα|ευθύγραμμου τμήματος]] είναι μια [[ευθεία]] που διέρχεται από το [[Μέσο (σημείο)|μέσο]] του ευθύγραμμου τμήματος και είναι [[κάθετες ευθείες|κάθετη]] σε αυτό.<ref name="Tav">{{cite book |last=Ταβανλής |first=Χ. |title=Επίπεδος Γεωμετρία |publisher=Ι. Χιωτελη |location=Αθήνα}}</ref>{{rp|40}}<ref name="T57">{{cite book |last=Τόγκας |first=Πέτρος Γ. |title=Θεωρητική Γεωμετρία |year=1957 |publisher=Πέτρου Γ. Τόγκα |location=Αθήνα}}</ref>{{rp|70-72}}<ref name="S73">{{cite book |title=Γεωμετρία: Επιπεδομετρία Τεύχος Α' |last=Αναστάσιος Ι. |first=Σκιαδάς |edition=2η |location=Αθήνα |year=1973 |pages=40}}</ref>
{{clear}}
==Η μεσοκάθετη ως γεωμετρικός τόπος==
{{μαθηματικό θεώρημα|διατύπωση=Η μεσοκάθετη ενός ευθύγραμμου τμήματος είναι ο [[γεωμετρικός τόπος]] των σημείων που ισαπέχουν από τα άκρα του τμήματος.{{r|S73|p=40}} }}}

{{μαθηματική απόδειξη|
[[Αρχείο:Perpendicular bisector proof el.svg|thumbnail|Η μεσοκάθετη αποτελείται από τα σημεία που ισαπέχουν από τα άκρα του τμήματος.|200px]]
Έστω <math>\mathrm{AB}</math> ένα ευθύγραμμο τμήμα. Θα δείξουμε πρώτα ότι κάθε σημείο της μεσοκαθέτου του ισαπέχει από τα <math>\rm A</math> και <math>\rm B</math>. Έπειτα θα δείξουμε ότι κάθε σημείο του επιπέδου που ισαπέχει από τα <math>\rm A</math> και <math>\rm B</math> ανήκει στην μεσοκάθετο.

(<math>\Rightarrow</math>) Έστω <math>\Sigma</math> ένα σημείο της μεσοκαθέτου του. Τα [[ορθογώνιο τρίγωνο|ορθογώνια]] [[τρίγωνο|τρίγωνα]] <math>\mathrm{AM\Sigma}</math> και <math>\mathrm{BM\Sigma}</math> είναι ίσα από το κριτήριο πλευράς-γωνίας-πλευράς, καθώς η <math>\rm M\Sigma</math> είναι κοινή, <math>\rm MA = MB</math> (διότι <math>\rm M</math> το μέσο του <math>\rm AB</math>) και <math>\widehat{\rm AM\Sigma} = \widehat{\rm BM\Sigma} = 90^\circ</math>. Συνεπώς θα είναι <math>\mathrm{A\Sigma} = \mathrm{B\Sigma}</math>.

(<math>\Leftarrow</math>) Αντίστροφα, έστω <math>\mathrm{\Sigma}</math> ένα σημείο του επιπέδου τέτοιο ώστε <math>\mathrm{A\Sigma} = \mathrm{B\Sigma}</math> και <math>\mathrm{M}</math> η προβολή του <math>\mathrm{\Sigma}</math> στο <math>\mathrm{AB}</math>. 

Τότε, τα τρίγωνα <math>\mathrm{AM\Sigma}</math> και <math>\mathrm{BM\Sigma}</math> είναι ίσα ως ορθογώνια με μία κοινή κάθετη πλευρά (την <math>\rm M\Sigma</math>) και ίση υποτείνουσα (<math>\rm A\Sigma = B\Sigma</math>). Επομένως, έχουμε ότι <math>\mathrm{AM} = \mathrm{BM}</math>, δηλαδή το <math>\mathrm{M}</math> είναι το μέσο του <math>\mathrm{AB}</math> και το κάθετο ευθύγραμμο τμήμα <math>\mathrm{\Sigma M}</math> ανήκει στην μεσοκάθετο. <math>\square</math>
}}

[[File:Perpendicular bisector half plane.svg|thumb|Ο γεωμετρικός τόπος των σημείων <math>\rm M</math> με <math>{\rm MA} < {\rm MB}</math>, είναι το ημιεπίπεδο <math>(\mu, \rm A)</math> όπου <math>\mu</math> η μεσοκάθετος του <math>\rm AB</math>.]]
'''Σημείωση:''' Για δύο σημεία <math>\rm A</math> και <math>\rm B</math> ο [[γεωμετρικός τόπος]] των σημείων <math>\rm M</math> με <math>\rm MA < \rm MB</math> είναι το [[ημιεπίπεδο]] που ορίζεται από την μεσοκάθετο του <math>\rm AB</math> και περιέχει το <math>\rm A</math>.{{r|S73|p=40}}
{{clear}}
== Μεσοκάθετοι τριγώνου ==
{{Κύριο|Περιγεγραμμένος κύκλος τριγώνου}}
Σε ένα τρίγωνο οι μεσοκάθετοι των τριών πλευρών διέρχονται από το ίδιο σημείο. Πιο γενικά, σε κάθε [[εγγεγραμμένο πολύγωνο]] οι μεσοκάθετοι των πλευρών του [[εγγεγραμμένο πολύγωνο#Μεσόκαθετοι πλευρών συντρέχουν|διέρχονται από το ίδιο σημείο]], που είναι και το κέντρο του περιγεγραμμένου του κύκλου. Οι μεσοκάθετοι ενός τριγώνου συμβολίζονται με <math>\pi_1, \pi_2, \pi_3</math>.{{r|S73|p=37}}

[[Αρχείο:Triangle_perpendicular_bisectors_intersection_el.svg|right|thumb|250px|Οι μεσοκάθετοι ενός τριγώνου διέρχονται από το ίδιο σημείο, το περίκεντρο.]]

{{μαθηματικό θεώρημα|διατύπωση=Οι μεσοκάθετοι των τριών πλευρών ενός τριγώνου τέμνονται στο ίδιο σημείο. Το σημείο αυτό είναι το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου και ονομάζεται περίκεντρο.}}

{{μαθηματική απόδειξη|Έστω <math>\mathrm{O'}</math> η τομή των μεσοκαθέτων των πλευρών <math>\mathrm{AB}</math> και <math>\mathrm{B\Gamma}</math>. Τότε από την ιδιότητα των σημείων της μεσοκαθέτου που ισαπέχουν από τα άκρα του ευθυγράμμου τμήματος, έχουμε ότι 
:<math>\mathrm{AO'} = \mathrm{BO'}</math> και <math>\mathrm{BO'} = \mathrm{\Gamma O'}</math>.
Άρα το <math>\mathrm{O'}</math> ισαπέχει και από το σημείο <math>\mathrm{\Gamma}</math>. Συνεπώς, ανήκει στην μεσοκάθετο του <math>\mathrm{A\Gamma}</math>. Καταλήγουμε ότι οι μεσοκάθετοι των <math>\mathrm{AB}</math>, <math>\mathrm{B\Gamma}</math> και <math>\mathrm{A\Gamma}</math> συντρέχουν στο <math>\mathrm{O'}</math>. <math>\square</math>
}}
===Ιδιότητες===
* Το μέρος των μεσοκαθέτων <math>p_{\rm A}</math>, <math>p_{\rm B}</math> και <math>p_{\rm \Gamma}</math> που είναι εντός του τριγώνου δίνεται από τον τύπο
::<math>p_{\rm A} = \frac{2\alpha \mathrm{E}}{\alpha^2 + \beta^2 - \gamma^2},\quad </math> <math>p_{\rm B} = \frac{2\beta \mathrm{E}}{\alpha^2 + \beta^2 - \gamma^2}\quad</math> και <math>\quad p_{\rm \Gamma} = \frac{2\gamma \mathrm{E}}{\alpha^2 - \beta^2 + \gamma^2}</math>,
:όπου <math>\alpha \ge \beta \ge \gamma</math> και το εμβαδό τρου τριγώνου είναι είναι <math>\mathrm{E}</math>.<ref>{{cite journal |author=Mitchell, Douglas W. |year=2013 |title=Perpendicular Bisectors of Triangle Sides |journal=Forum Geometricorum |issue=13 |pages=53-59 |url=https://forumgeom.fau.edu/FG2013volume13/FG201307.pdf |accessdate=2022-12-06 |archivedate=2022-12-06 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20221206075538/https://forumgeom.fau.edu/FG2013volume13/FG201307.pdf |deadurl= }}</ref>{{rp|Thm 2}}
{{Μαθηματική απόδειξη|collapse=true|
Έστω <math>\Delta</math> το σημείο τομής της μεσοκαθέτου του <math>\rm A</math> με την πλευρά <math>\rm \beta</math>. Τότε, στο τρίγωνο <math>\rm \Gamma M_A \Delta</math> ισχύει ότι 
:<math>
\sin \hat{\rm \Gamma} = \tan \hat{\rm \Gamma} \cdot \cos \hat{\rm \Gamma} = \frac{p_{\rm A}}{\alpha/2} \cdot \cos \hat{\rm \Gamma}
</math>.
Από τον [[νόμος των συνημιτόνων|νόμο των συνημιτόνων]] στο τρίγωνο <math>\rm AB\Gamma</math> ισχύει ότι 
:<math>\cos \hat{\rm \Gamma} = \frac{\gamma^2 - \alpha^2 - \beta^2}{2\alpha\beta}</math>.
Συνδυάζοντας τις δύο σχέσεις έχουμε ότι 
:<math>
\sin \hat{\rm \Gamma}
 = \frac{p_{\rm A}}{\alpha/2} \cdot \frac{\gamma^2 - \alpha^2 - \beta^2}{2\alpha\beta}.
</math>
Τέλος από την σχέση ημιτόνου για το εμβαδόν,
:<math>{\rm E} 
  = \frac{1}{2} \alpha \gamma \sin \hat{\rm \Gamma}
</math>,
λαμβάνουμε ότι
:<math>p_{\rm A} = \frac{2\alpha \mathrm{E}}{\alpha^2 + \beta^2 - \gamma^2}</math>.
}}

== Αναλυτική γεωμετρία ==

Έστω <math>\mathrm{A}</math> και <math>\mathrm{B}</math> δύο σημεία του επιπέδου. Τότε η εξίσωση της ευθείας της μεσοκαθέτου δίνεται από τον τύπο
:<math>
 y - \tfrac{\mathrm{A}_y + \mathrm{B}_y}{2} = -\tfrac{\mathrm{B}_x - \mathrm{A}_x}{\mathrm{B}_y - \mathrm{A}_y} \cdot \left( x - \tfrac{\mathrm{A}_x + \mathrm{B}_x}{2} \right)
</math>,
καθώς η ευθεία διέρχεται από το το μέσο <math diplay="inline">\left( \tfrac{\mathrm{A}_x + \mathrm{B}_x}{2}, \tfrac{\mathrm{A}_y + \mathrm{B}_y}{2} \right)</math> του <math>\mathrm{AB}</math> και έχει κλίση 
:<math>
  m = \tfrac{\mathrm{B}_x - \mathrm{A}_x}{\mathrm{B}_y - \mathrm{A}_y},
</math>
ως κάθετη στο <math>\mathrm{AB}</math>.

== Γεωμετρική κατασκευή ==
[[File:Perpendicular bisector construction el.gif|thumb|right|Κατασκευή μεσοκαθέτου του ευθυγράμμου τμήματος <math>\rm AB</math>.]]
{{βπβ
  |name=mesokathetos
  |steps=4
  |image1=[[Αρχείο:Perpendicular bisector construction step 0.svg|thumb|center]]
  |image2=[[Αρχείο:Perpendicular bisector construction step 1.svg|thumb|center]]
  |image3=[[Αρχείο:Perpendicular bisector construction step 2.svg|thumb|center]]
  |image4=[[Αρχείο:Perpendicular bisector construction step 3.svg|thumb|center]]
  |text=Μας δίνεται ένα ευθύγραμμο τμήμα <math>\rm AB</math>. Για να κατασκευάσουμε την μεσοκάθετο με [[Κατασκευή με κανόνα και διαβήτη|κανόνα και διαβήτη]], ακολουθούμε τα εξής βήματα:
  <ol>{{Βπβ/βήμα|element=li|mesokathetos|2|Με τον διαβήτη χαράζουμε δύο κύκλους με κέντρα τα <math>\mathrm{A}</math> και <math>\mathrm{B}</math> και ακτίνα <math>\mathrm{AB}</math>.}}
  {{Βπβ/βήμα|element=li|mesokathetos|3|Βρίσκουμε τα σημεία τομής <math>\mathrm{T}_1</math> και <math>\mathrm{T}_2</math> των δύο κύκλων.}}
  {{Βπβ/βήμα|element=li|mesokathetos|4|Η ευθεία που ενώνει τα <math>\mathrm{T}_1</math> και <math>\mathrm{T}_2</math> είναι η μεσοκάθετος του <math>\mathrm{AB}</math>.}}
  </ol>
  |text-all-steps=Δείτε ολόκληρη την κατασκευή
}}
{{clear}}

== Δείτε επίσης ==
* [[Ισοσκελές τρίγωνο]]
* [[Διάμεσος (γεωμετρία)]]
* [[Περιγεγραμμένος κύκλος]]
* [[Μεσοκάθετο επίπεδο ευθυγράμμου τμήματος]]

== Παραπομπές ==
<references/>

{{Γεωμετρικοί τόποι στην ευκλείδεια γεωμετρία|state=expanded}}
{{ευθεία}}
{{Τρίγωνο|state=autocollapse}}

[[Κατηγορία:Ευκλείδεια Γεωμετρία]]
[[Κατηγορία:Ευκλείδεια επιπεδομετρία]]
[[Κατηγορία:Γεωμετρικοί τόποι]]
[[Κατηγορία:Ευθείες]]
[[Κατηγορία:Γεωμετρικές κατασκευές]]

Πρότυπα που χρησιμοποιούνται σε αυτή την σελίδα:

Πρότυπο:Calculator (επεξεργασία)
Πρότυπο:Calculator-hideifzero (επεξεργασία)
Πρότυπο:Calculator-hideifzero/styles.css (επεξεργασία)
Πρότυπο:Calculator button (επεξεργασία)
Πρότυπο:Citation/core (επεξεργασία)
Πρότυπο:Citation/make link (επεξεργασία)
Πρότυπο:Cite book (προβολή κώδικα) (ημιπροστατευμένη)
Πρότυπο:Cite journal (προβολή κώδικα) (ημιπροστατευμένη)
Πρότυπο:Clear (προβολή κώδικα) (πλήρως προστατευμένη)
Πρότυπο:Hlist/styles.css (επεξεργασία)
Πρότυπο:Icon (επεξεργασία)
Πρότυπο:If (επεξεργασία)
Πρότυπο:Navbox (επεξεργασία)
Πρότυπο:P1 (επεξεργασία)
Πρότυπο:P2 (επεξεργασία)
Πρότυπο:Portal-inline (επεξεργασία)
Πρότυπο:Portal/Images/Default (επεξεργασία)
Πρότυπο:R (επεξεργασία)
Πρότυπο:R/ref (επεξεργασία)
Πρότυπο:R/superscript (επεξεργασία)
Πρότυπο:R/where (επεξεργασία)
Πρότυπο:Rp (επεξεργασία)
Πρότυπο:Βπβ (επεξεργασία)
Πρότυπο:Βπβ/styles.css (επεξεργασία)
Πρότυπο:Βπβ/βήμα (επεξεργασία)
Πρότυπο:Βπβ/εικόνα (επεξεργασία)
Πρότυπο:Γεωμετρικοί τόποι στην ευκλείδεια γεωμετρία (επεξεργασία)
Πρότυπο:Ευθεία (επεξεργασία)
Πρότυπο:Κύριο (προβολή κώδικα) (ημιπροστατευμένη)
Πρότυπο:Μαθηματική απόδειξη (επεξεργασία)
Πρότυπο:Μαθηματική απόδειξη/styles.css (επεξεργασία)
Πρότυπο:Μαθηματικό θεώρημα (επεξεργασία)
Πρότυπο:Μαθηματικό θεώρημα/styles.css (επεξεργασία)
Πρότυπο:Πλαίσιο πλοήγησης (προβολή κώδικα) (πλήρως προστατευμένη)
Πρότυπο:Τρίγωνο (επεξεργασία)
Module:Arguments (προβολή κώδικα) (ημιπροστατευμένη)
Module:Citation/CS1 (προβολή κώδικα) (πλήρως προστατευμένη)
Module:Citation/CS1/COinS (επεξεργασία)
Module:Citation/CS1/Configuration (επεξεργασία)
Module:Citation/CS1/Date validation (επεξεργασία)
Module:Citation/CS1/Identifiers (επεξεργασία)
Module:Citation/CS1/Utilities (επεξεργασία)
Module:Citation/CS1/Whitelist (επεξεργασία)
Module:Citation/CS1/styles.css (επεξεργασία)
Module:DecodeEncode (επεξεργασία)
Module:GetParameters (επεξεργασία)
Module:Navbar (επεξεργασία)
Module:Navbar/configuration (προβολή κώδικα) (πλήρως προστατευμένη)
Module:Navbar/styles.css (προβολή κώδικα) (ημιπροστατευμένη)
Module:Navbox (επεξεργασία)
Module:Navbox/configuration (επεξεργασία)
Module:Navbox/styles.css (προβολή κώδικα) (πλήρως προστατευμένη)
Module:Plain text (επεξεργασία)
Module:String2 (επεξεργασία)
Module:TableTools (επεξεργασία)
Module:Yesno (προβολή κώδικα) (πλήρως προστατευμένη)

Επιστροφή στη σελίδα Μεσοκάθετη ευθύγραμμου τμήματος.

Ανακτήθηκε από "https://el.wikipedia.org/wiki/Μεσοκάθετη_ευθύγραμμου_τμήματος"