Aritmetika

Ovaj članak ili neki od njegovih odlomaka nije dovoljno potkrijepljen izvorima (literatura, veb-sajtovi ili drugi izvori). Ako se pravilno ne potkrijepe pouzdanim izvorima, sporne rečenice i navodi mogli bi biti izbrisani. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putem referenci te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon.

Aritmetika je grana matematike koja proučava računske operacije s brojevima. Dolazi od grčke riječi arithmetike, koja se sastoji od riječi: arithmos (broj) i techne (umijeće).

Četiri su osnovne računske operacije:

• sabiranje
• oduzimanje
• množenje i
• dijeljenje

koje djeca uče u osnovnoj školi. Naprednije aritmetičke operacije su kvadriranje i potenciranje (svode se na množenje broja sa samim sobom) i korjenovanje (nešto složeniji postupak). U aritmetici poštujemo redoslijed izvođenja računskih operacija, tj. ukoliko zagradama nije određen redoslijed operacija, množenje i dijeljenje ima prioritet u odnosu na oduzimanje i sabiranje.

Aritmetika prirodnih, cijelih, racionalnih (u obliku razlomaka) i realnih brojeva (koji imaju decimale) obično se uči u osnovnoj školi. Ipak, većina odraslih oslanja se na kalkulatore, računare ili abakuse kako bi izračunala rezultat aritmetičke operacije.

Pojam "aritmetika" koristi se i za osnovnu teoriju brojeva; u tom kontekstu se pojavljuju i osnovni teorem aritmetike i aritmetičke funkcije.

Sabiranje je osnovna računska operacija aritmetike. U svom najjednostavnijem obliku, sabrati dva broja znaći naći broj ${\displaystyle a+b}$

Primjeri

${\displaystyle 2+2=4}$

${\displaystyle 3+5=8}$

Može se sabrati više od 2 broja. To uključuje sabiranje beskonačno mnogo brojeva. Sabiranje broja ${\displaystyle 1}$ s nekim brojem je najosnovniji oblik brojanja.

Sabiranjem broja ${\displaystyle 0}$ i nekog broja dobijamo taj broj.

5+0=5</math>

${\displaystyle 0}$ je neutralni element za sabiranje

Sabiranjem 2 suprotna broja dobijamo broj 0.

${\displaystyle 8+(-8)=0}$

To je inverzan element za sabiranje.

Važi zakon komutacije

${\displaystyle {\begin{cases}3+4=7\\4+3=7tj\\3+4=4+3=7\end{cases}}}$

Važi zakon asocijacije

${\displaystyle {\begin{cases}(2+3)+5=5+5=10\\2+(3+5)=2+8=10tj\\(2+3)+5=2+(3+5)=10\end{cases}}}$

Sabrati možemo i geometrijski, kao u sljedećem primjeru:

Ako imamo dva štapića dužine ${\displaystyle 2}$ i ${\displaystyle 5}$ i ako ih stavimo jedan za drugim, tako da se kraj prvog poklapa sa početkom drugog štapića. Dobićemo štap čija je dužina

${\displaystyle 2+5=7}$.

Oduzimanje je inverzna operacija od sabiranja. Rezultat ove operacije je razlika. Oduzeti broj ${\displaystyle b}$ od broja ${\displaystyle a}$ znaći naći broj ${\displaystyle a-b}$ odnosno znaći naći zbir brojeva ${\displaystyle a}$ i ${\displaystyle (-b)}$. To zapisujemo

${\displaystyle a-b=a+(-b)}$

Imamo sljedeće slučajeve

• Ako je ${\displaystyle a<b}$ onda je ${\displaystyle a-b<0,}$
• Ako je a>b onda je ${\displaystyle a-b>0}$
• Ako je a=b onda je ${\displaystyle a-b=0}$

Za oduzimanje ne važi zakon komutacije a ni asocijacije.

Množenje je druga osnovna računska operacija aritmetike. Pomnožiti 2 broja znaći naći broj ${\displaystyle a*b}$, a to je

${\displaystyle a\times b=\underbrace {b+\cdots +b} _{a}}$

Primjer

${\displaystyle 3*4=4+4+4=12}$

Za množenje važi zakon komutacije

${\displaystyle {\begin{cases}2*6=6+6=12\\6*2=2+2+2+2+2+2=12tj\\2*6=6*2=12\end{cases}}}$

i asocijacije

${\displaystyle {\begin{cases}(2*3)*4=6*4=24\\*(3*4)=2*12=24tj\\(2*3)*4=2*12=24\end{cases}}}$

Ako broj ${\displaystyle a}$ pomnožimo sa ${\displaystyle 1}$ (neutalni element) dobićemo bro ${\displaystyle a}$

${\displaystyle 6*1=6}$

Ako broj ${\displaystyle a}$ pomnožimo sa recipročnom vrijednosti broja ${\displaystyle a}$ dobićemo broj ${\displaystyle 1}$.

${\displaystyle 6*6^{-1}=1}$

Ovo je inverzan broj.

Bilo koji broj može imati recipročnu vrijednost osim ${\displaystyle 0}$.

Dijeljenje je inverzna računska operacija množenju. Nije definisano dijeljenje brojem ${\displaystyle 0}$.

Podijeliti 2 broja znaći naći broj ${\displaystyle a:b}$ odnosno naći proizvod broja ${\displaystyle a}$ i recipročne vrijednosti beoja ${\displaystyle b}$.

To znaći

${\displaystyle a:b=a*b^{-1}}$ Imamo slučajeve

• Za ${\displaystyle a>b=>a:b>1}$
• Za ${\displaystyle a<b=>a:b<1}$
• Za ${\displaystyle a=b=>a:b=1}$

Ne važi zakon komutacije a ni asocijacije.

Za dijeljenje napisano kao proizvod važe sve osobine koje važe za množenje.

Sve vrste zapisa brojeva možemo zapisati decimalnim zapisom.

Primjer

zapis broja ${\displaystyle 507,36}$

${\displaystyle (507,36)_{10}=5*10^{3}+0*10^{2}+7*10+3*10^{-1}+6*10^{-2}}$

Ovaj zapis brojeva obuhvata sva pravila aritmetičkih operacija

${\displaystyle 2.34\times 10^{-5}+5.67\times 10^{-6}=2.34\times 10^{-5}+0.567\times 10^{-5}=2.907\times 10^{-5}}$