GF(2)

Αυτό το λήμμα χρειάζεται επιμέλεια ώστε να ανταποκρίνεται σε υψηλότερες προδιαγραφές ορθογραφικής και συντακτικής ποιότητας ή μορφοποίησης. Αίτιο: Οι κατηγορίες, οι εξωτερικοί σύνδεσμοι και τα δείτε επίσης δεν είναι άμεσα σχετικά με το θέμα του λήμματος Για περαιτέρω βοήθεια, δείτε τα λήμματα πώς να επεξεργαστείτε μια σελίδα και τον οδηγό μορφοποίησης λημμάτων.

Το GF(2)^[1] (επίσης συμβολίζεται ως ${\displaystyle \mathbb {F} _{2}}$, Z/2Z or ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$) είναι το πεπερασμένο σώμα με δύο στοιχεία.^[2][α]

Το GF(2) είναι το σώμα με τον μικρότερο δυνατό αριθμό στοιχείων και είναι μοναδικό αν η προσθετική ταυτότητα και η πολλαπλασιαστική ταυτότητα συμβολίζονται αντίστοιχα με 0 και 1, ως συνήθως.

Τα στοιχεία του GF(2) μπορούν να ταυτιστούν με τις δύο δυνατές τιμές ενός bit και με τις τιμές Μπουλ^[3] αληθής και ψευδής. Προκύπτει ότι η GF(2) είναι θεμελιώδης και πανταχού παρούσα στην επιστήμη των υπολογιστών και στα λογικά της θεμέλια.

Το GF(2)^[1] είναι το μοναδικό σώμα με δύο στοιχεία με τις προσθετικές και πολλαπλασιαστικές ταυτότητες που συμβολίζονται αντίστοιχα με 0 και 1.

Η πρόσθεση του ορίζεται ως η συνήθης πρόσθεση ακεραίων αλλά modulo 2 και αντιστοιχεί στον παρακάτω πίνακα:

Αν τα στοιχεία του GF(2) θεωρηθούν ως τιμές Μπουλ, τότε η πρόσθεση είναι η ίδια με εκείνη της λογικής πράξης XOR^[4]. Εφόσον κάθε στοιχείο ισούται με το αντίθετό του, η αφαίρεση είναι επομένως η ίδια πράξη με την πρόσθεση.

Ο πολλαπλασιασμός του GF(2) είναι και πάλι ο συνήθης πολλαπλασιασμός modulo 2 (βλ. τον παρακάτω πίνακα) και στις μεταβλητές Μπουλ αντιστοιχεί στη λογική σύζευξη AND.

Το GF(2) μπορεί να ταυτιστεί με το σώμα των ακεραίων modulo 2, δηλαδή, το πηλίκο του δακτυλίου των ακεραίων Z από το ιδανικό 2Z όλων των ζυγών αριθμών: GF(2) = Z/2Z.

Οι συμβολισμοί Z₂ και ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ μπορεί να συναντηθούν αν και μπορεί να συγχέονται με τον συμβολισμό των 2-adic ακεραίων.

Κύριο λήμμα: Πεπερασμένο σώμα

Επειδή το GF(2) είναι ένα σώμα, διατηρούνται πολλές από τις γνωστές ιδιότητες των αριθμητικών συστημάτων, όπως οι ρητοί αριθμοί και οι πραγματικοί αριθμοί:

• Η πρόσθεση έχει ένα στοιχείο ταυτότητας (0) και ένα αντίστροφο για κάθε στοιχείο,
• ο πολλαπλασιασμός έχει ένα στοιχείο ταυτότητας (1) και ένα αντίστροφο για κάθε στοιχείο εκτός από το 0,
• η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός έχουν αντιμεταθετική και προσεταιριστική ιδιότητα,
• Στον πολλαπλασιασµό ισχύει η επιµεριστική ιδιότητα επί της πρόσθεσης.

Οι ιδιότητες που δεν είναι γνωστές από τους πραγματικούς αριθμούς περιλαμβάνουν:

• κάθε στοιχείο x του GF(2) ικανοποιεί την x + x = 0 και επομένως -x = x- αυτό σημαίνει ότι η χαρακτηριστική του GF(2) είναι 2,
• κάθε στοιχείο x του GF(2) ικανοποιεί την τιμή x² = x (δηλαδή είναι ταυτοδύναμο ως προς τον πολλαπλασιασμό)- αυτό είναι μια περίπτωση του μικρού θεωρήματος του Φερμά. Το GF(2) είναι το μόνο σώμα με αυτή την ιδιότητα (Απόδειξη: x² = x, τότε είτε x = 0 είτε x ≠ 0. Στην τελευταία περίπτωση, το, x πρέπει να έχει πολλαπλασιαστικό αντίστροφο, οπότε διαιρώντας και τις δύο πλευρές με το x προκύπτει x = 1. Όλα τα μεγαλύτερα σώματα περιέχουν στοιχεία εκτός από το 0 και το 1, και τα στοιχεία αυτά δεν μπορούν να ικανοποιήσουν αυτή την ιδιότητα).

Λόγω των παραπάνω αλγεβρικών ιδιοτήτων, πολλά γνωστά και ισχυρά εργαλεία των μαθηματικών λειτουργούν στο GF(2) καθώς και σε άλλους τομείς. Παραδείγματος χάριν, οι πράξεις πινάκων, όπως του αντιστρέψιμου πίνακα, μπορούν να εφαρμοστούν σε πίνακες με στοιχεία στο GF(2) (βλέπε δακτύλιος πίνακα.)

Οποιαδήποτε ομάδα (V,+) με την ιδιότητα v + v = 0 για κάθε v στο V είναι αναγκαστικά αβελιανή και μπορεί να μετατραπεί σε διανυσματικό χώρο πάνω από την GF(2) με φυσικό τρόπο, ορίζοντας 0v = 0 και 1v = v για όλα τα v στο V. Αυτός ο διανυσματικός χώρος θα έχει μια βάση, που σημαίνει ότι ο αριθμός των στοιχείων του V πρέπει να είναι δύναμη του 2 (ή άπειρος).

Στους σύγχρονους υπολογιστές, τα δεδομένα αναπαρίστανται με σειρές μπιτ σταθερού μήκους, που ονομάζονται λέξεις μηχανής. Αυτές έχουν τη δομή ενός διανυσματικού χώρου πάνω σε GF(2). Η πρόσθεση αυτού του διανυσματικού χώρου είναι η πράξη κατά ψηφία που ονομάζεται XOR (αποκλειστικό ή). Το bitwise^[5] AND είναι μια άλλη πράξη σε αυτόν τον διανυσματικό χώρο, η οποία τον καθιστά άλγεβρα Μπουλ, μια δομή που διέπει όλη την επιστήμη των υπολογιστών. Αυτοί οι χώροι μπορούν επίσης να εμπλουτιστούν με μια πράξη πολλαπλασιασμού που τους μετατρέπει σε σώμα GF(2ⁿ), αλλά η πράξη πολλαπλασιασμού δεν μπορεί να είναι πράξη κατά bitwise^[5]. Όταν n Όταν το n είναι δύναμη του δύο, η πράξη πολλαπλασιασμού μπορεί να είναι ο πολλαπλασιασμός nim- εναλλακτικά, για οποιοδήποτε n, μπορεί κανείς να χρησιμοποιήσει πολλαπλασιασμό πολυωνύμων πάνω στο GF(2) modulo ένα μη αναγώγιμο πολυώνυμο (όπως επί παραδείγματι το σώμα GF(2⁸) στην περιγραφή της κρυπτογράφησης με το Advanced Encryption Standard^[6]).

Οι διανυσματικοί χώροι και οι πολυωνυμικοί δακτύλιοι πάνω από το GF(2) χρησιμοποιούνται ευρέως στη θεωρία κωδικοποίησης, και ιδίως στους κώδικες διόρθωσης σφαλμάτων και στη σύγχρονη κρυπτογραφία. Παραδείγματος χάριν, πολλοί κοινοί κώδικες διόρθωσης σφαλμάτων (όπως οι κώδικες BCH) είναι γραμμικοί κώδικες πάνω από το GF(2)(κώδικες που ορίζονται από διανυσματικούς χώρους πάνω από το GF(2)), ή πολυωνυμικοί κώδικες (κώδικες που ορίζονται ως πηλίκα πολυωνυμικών δακτυλίων πάνω από το GF(2)).

Όπως κάθε σώμα, το GF(2) έχει μια αλγεβρική κλειστότητα. Αυτό είναι ένα σώμα F το οποίο περιέχει το GF(2) ως υποσώμα, το οποίο είναι αλγεβρικό πάνω στο GF(2) (δηλαδή κάθε στοιχείο του F είναι ρίζα ενός πολυωνύμου με συντελεστές στο GF(2)), και το οποίο είναι αλγεβρικά κλειστό (κάθε μη σταθερό πολυώνυμο με συντελεστές στο F έχει ρίζα στο F). Το σώμα F καθορίζεται μοναδικά από αυτές τις ιδιότητες, μέχρι έναν αυτομορφισμό του σώματος (δηλαδή ουσιαστικά μέχρι τον συμβολισμό των στοιχείων του).

Το F είναι μετρήσιμο και περιέχει ένα μόνο αντίγραφο καθενός από τα πεπερασμένα σώματα GF(2ⁿ); το αντίγραφο του GF(2ⁿ) περιέχεται στο αντίγραφο του GF(2^m) εάν και μόνο εάν το n διαιρεί το m. Το σώμα F είναι μετρήσιμο και είναι η ένωση όλων αυτών των πεπερασμένων σωμάτων.

Ο Κονγουέι συνειδητοποίησε ότι ο F μπορεί να ταυτιστεί με τον τακτικό αριθμό ${\displaystyle \omega ^{\omega ^{\omega }}}$, όπου οι πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού ορίζονται με φυσικό τρόπο μέσω της υπερβατικής επαγωγής (οι πράξεις αυτές είναι ωστόσο διαφορετικές από την τυπική πρόσθεση και τον πολλαπλασιασμό των τακτικών αριθμών).^[7] Η πρόσθεση σε αυτό το σώμα είναι απλή στην εκτέλεση και μοιάζει με την πρόσθεση Νιμ- ο Λένστρα έδειξε ότι ο πολλαπλασιασμός μπορεί επίσης να εκτελεστεί αποτελεσματικά. ^[8]

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου.
• Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
• Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
• Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
• Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
• Wolfram Mathematica Online Integrator
• A Table of Integrals of the Error Functions

• Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
• Μορφοκλασματική διάσταση
• Ομοπαραλληλική γεωμετρία
• Αλγεβρική θεωρία αριθμών
• Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
• Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
• Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
• Ευκλείδειος χώρος
• Αρχιμήδεια ιδιότητα
• Βαθμός (γραμμική άλγεβρα)
• Εφαρμοσμένα μαθηματικά
• Υπολογιστική ρευστοδυναμική
• Καμπυλότητα Γκάους
• Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
• Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
• Αλγεβρική γεωμετρία
• Σώμα διασπάσεως
• Συνήθης διαφορική εξίσωση
• Γραμμική απεικόνιση
• Νοεροί υπολογισμοί

• Helleseth, Tor (13 Μαΐου 2003). Advances in Cryptology – EUROCRYPT ’93: Workshop on the Theory and Application of Cryptographic Techniques Lofthus, Norway, May 23–27, 1993 Proceedings. Springer. ISBN 978-3-540-48285-7. 
• Matsui, Mitsuru (29 Μαρτίου 2004). Selected Areas in Cryptography: 10th Annual International Workshop, SAC 2003, Ottawa, Canada, August 14-15, 2003, Revised Papers. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-21370-3. 
• Davida, George· Mambo, Masahiro (8 Απριλίου 1998). Information Security: First International Workshop, ISW'97, Tatsunokuchi, Ishikawa Japan, September 17-19, 1997, Proceedings. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64382-1. 
• Arasu, K. T.· Seress, Akos (22 Αυγούστου 2008). Codes and Designs: Proceedings of a conference honoring Professor Dijen K. Ray-Chaudhuri on the occasion of his 65th birthday. The Ohio State University May 18-21, 2000. Walter de Gruyter. ISBN 978-3-11-019811-9. 
• Zhou, Jianying· Yung, Moti (4 Ιουλίου 2006). Applied Cryptography and Network Security: 4th International Conference, ACNS 2006, Singapore, June 6-9, 2006, Proceedings. Springer. ISBN 978-3-540-34704-0. 
• Boyd, Colin· Nieto, Juan González (15 Ιουνίου 2009). Information Security and Privacy: 14th Australasian Conference, ACISP 2009 Brisbane, Australia, July 1-3, 2009 Proceedings. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-02619-5. 
• Cusick, Thomas W.· Ding, Cunsheng (17 Φεβρουαρίου 2004). Stream Ciphers and Number Theory. Elsevier. ISBN 978-0-08-054183-9. 
• Selvaraj, W. B. Vasantha Kandasamy, Florentin Smarandache, N. Suresh Babu, R. S. (2010). Rank Distance Bicodes and Their Generalization. Infinite Study. ISBN 978-91-85917-12-9. 
• Jamali, Seyed Hamidreza· Le-Ngoc, Tho (6 Δεκεμβρίου 2012). Coded-Modulation Techniques for Fading Channels. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4615-2728-2. 
• Vasic, Bane· Kurtas, Erozan M. (9 Νοεμβρίου 2004). Coding and Signal Processing for Magnetic Recording Systems. CRC Press. ISBN 978-0-203-49031-0. 

• Lam, T. Y. (1983), Orderings, valuations and quadratic forms, CBMS Regional Conference Series in Mathematics, 52, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0702-1,
  Zbl 0516.12001
  , https://archive.org/details/orderingsvaluati0000lamt 
• Lam, Tsit-Yuen (2005). Introduction to Quadratic Forms over Fields. en:Graduate Studies in Mathematics. 67. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-1095-2. Zbl 1068.11023. 
• Lang, Serge (1993), Algebra (Third ed.), Reading, Mass.: Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-55540-0, Zbl 0848.13001
• Neukirch, Jürgen; Schmidt, Alexander; Wingberg, Kay (2008), Cohomology of Number Fields, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 323 (Second έκδοση), Berlin: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-3-540-37889-1, ISBN 978-3-540-37888-4,
  Zbl 1136.11001
   
• Rubin, Karl (1991), «The 'main conjectures' of Iwasawa theory for imaginary quadratic fields», Inventiones Mathematicae 103 (1): 25–68, doi:10.1007/BF01239508, ISSN 0020-9910,
  Zbl 0737.11030
   
• Skinner, Chris; Urban, Éric (2010), The Iwasawa main conjectures for GL₂, σελ. 219, http://www.math.columbia.edu/%7Eurban/eurp/MC.pdf 
• Washington, Lawrence C. (1997), Introduction to cyclotomic fields, Graduate Texts in Mathematics, 83 (2nd έκδοση), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94762-4, https://books.google.com/books?isbn=0-387-94762-0 
• Wiles, Andrew (1990), «The Iwasawa Conjecture for Totally Real Fields», Annals of Mathematics 131 (3): 493–540, doi:10.2307/1971468,
  Zbl 0719.11071
   
• Rotman, Joseph (1998). Galois Theory. Universitext (Second έκδοση). Springer. doi:10.1007/978-1-4612-0617-0. ISBN 0-387-98541-7. MR 1645586. 
• Völklein, Helmut (1996). Groups as Galois groups: an introduction. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. 53. Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511471117. ISBN 978-0-521-56280-5. MR 1405612. 
• van der Waerden, Bartel Leendert (1931). Moderne Algebra (στα German). Berlin: Springer. CS1 maint: Μη αναγνωρίσιμη γλώσσα (link) . English translation (of 2nd revised edition): Modern algebra. New York: Frederick Ungar. 1949.  (Later republished in English by Springer under the title "Algebra".)
• Pop, Florian (2001). «(Some) New Trends in Galois Theory and Arithmetic» (PDF). 

• Martin, George E. (1998). Geometric Constructions. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag. ISBN 0-387-98276-0. Zbl 0890.51015. 
• Rajwade, A. R. (1993). Squares. London Mathematical Society Lecture Note Series. 171. Cambridge University Press. ISBN 0-521-42668-5. Zbl 0785.11022. 
• Efrat, Ido (2006), Valuations, orderings, and Milnor K-theory, Mathematical Surveys and Monographs, 124, Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 0-8218-4041-X,
  Zbl 1103.12002
   
• Elman, Richard; Lam, T. Y. (1972), «Quadratic forms over formally real fields and pythagorean fields», American Journal of Mathematics 94 (4): 1155–1194, doi:10.2307/2373568, ISSN 0002-9327 
• Greenberg, Marvin J. (2010), «Old and new results in the foundations of elementary plane Euclidean and non-Euclidean geometries», Am. Math. Mon. 117 (3): 198–219, doi:10.4169/000298910x480063, ISSN 0002-9890,
  Zbl 1206.51015
   
• Iyanaga, Shôkichi; Kawada, Yukiyosi, επιμ.. (1980), Encyclopedic dictionary of mathematics, Volumes I, II, Translated from the 2nd Japanese edition, paperback version of the 1977 edition (1st έκδοση), MIT Press, ISBN 978-0-262-59010-5, https://archive.org/details/encyclopedicdict0000niho 
• Lam, T. Y. (1983), Orderings, valuations and quadratic forms, CBMS Regional Conference Series in Mathematics, 52, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0702-1,
  Zbl 0516.12001
  , https://archive.org/details/orderingsvaluati0000lamt 
• Wendelin Degen, Lothar Profke: Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie. Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
• Hans Freudenthal: Mathematik als pädagogische Aufgabe. Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
• Thomas W. Hungerford: Algebra (= Graduate Texts in Mathematics. Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.