Valorigo

En matematiko, valorigo estas funkcio, kiu asignas al ĉiu elemento de kampo valoron en komuta grupo, kiu mezuras iaspecan “gradon” de la korpa elemento.

Supozu, ke haveblas jeno:

• kampo ${\displaystyle K}$
• komuta tute ordigita grupo ${\displaystyle (\Gamma ,+,\geq )}$.

Oni povas pluigi la grupon ${\displaystyle \Gamma }$ al la ĉi-suba tute ordigita monoido ${\displaystyle \Gamma \sqcup \{\infty \}}$:

${\displaystyle \infty \geq \alpha \qquad \forall \alpha \in \Gamma }$

${\displaystyle \infty +\alpha =\alpha +\infty =\infty \qquad \forall \alpha \in \Gamma }$.

Do, valorigo sur ${\displaystyle K}$ estas bildigo

${\displaystyle v\colon K\to \Gamma \sqcup \{\infty \}}$

kiu plenumas la ĉi-subajn aksiomojn:

• Pri ajna ${\displaystyle a\in K}$, do ${\displaystyle v(a)=\infty }$ se kaj nur se ${\displaystyle a=0}$.
• (Homomorfieco) Pri ajnaj ${\displaystyle a,b\in K}$, do ${\displaystyle v(ab)=v(a)+v(b)}$.
• Pri ajnaj ${\displaystyle a,b\in K}$, do ${\displaystyle v(a+b)\geq \min(v(a),v(b))}$, kaj ${\displaystyle v(a+a)=v(a)}$.

La valorringo de la valorigo ${\displaystyle v}$ estas la ringo de elementoj de ${\displaystyle K}$, kies valoroj estas pozitivaj:

${\displaystyle \{a\in K\colon v(a)\geq 0\}}$.

Tiu subaro de ${\displaystyle K}$ fakte formas subringon de ${\displaystyle K}$.

Sur la sama kampo ${\displaystyle K}$, du valorigoj

${\displaystyle v\colon K\to \Gamma \sqcup \{\infty \}}$

${\displaystyle v\colon K\to \Gamma '\sqcup \{\infty \}}$

estas ekvivalentaj, se kaj nur se ekzistas ordo-respektanta grupa izomorfio

${\displaystyle \phi \colon \Gamma \to \Gamma '}$

tia ke, por ĉiu ${\displaystyle a\in K}$,

${\displaystyle v'(a)=\phi (v(a))}$.

Tio estas ekvivalentorilato; ekvivalentoklaso de valorigoj nomiĝas loko.

Laŭ la teoremo de Ostrowski, la valorigoj de la kampo de racionalaj nombroj estas ekvivalentaj al unu el la ĉi-subaj:

• la triviala valorigo,

  ${\displaystyle v_{0}(x)={\begin{cases}\infty &x=0\\0&x\neq 0\end{cases}}}$

• por ĉiu primo ${\displaystyle p}$, la p-ada valorigo, se ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$ estas entjero kaj ${\displaystyle a,b\in \mathbb {Z} }$ estas primaj inter si kaj neniu el la du estas divideblaj per ${\displaystyle p}$,

  ${\displaystyle v_{p}(p^{n}a/b)={\begin{cases}\infty &a=0\\n&a\neq 0\end{cases}}}$

• Eric W. Weisstein, Valuation en MathWorld.